Tamsayılar eksi sonsuzdan artı sonsuza kadar giderler. Yani "0"ın iki yanından sonsuza kadar uzanırlar. Tam sayılar kümesi ile gösterilir. Pozitif Tam Sayılar Başında "+" işareti bulunan veya bir şey bulunmayan tam sayılar pozitif tam sayılar adını alırlar. Sayı ekseninde (sayı doğrusunda) 0'ın sağ yanında yer alırlar. Türkiyedeki köy okulları gerçeği hala var biliyorsunuz. Yurt dışında gelişmiş bir Avrupa ülkesine gittiğinizde, köydeki okullar ile kentteki okullar arasında büyük bir farklılık görmezsiniz. Ama Türkiye'de ne yazıkki bu ayrım hala sürüyor. Kapatılan çok sayıda binlerce, 17 bin civarında köy okulu var. Yani her Bunagöre, Gümüşler Manastırı ile Ömer Halisdemir Şehitliği arasındaki kuş uçuşu mesafenin kilometre cinsinden alabileceği en büyük tam sayı değeri kaçtır? (Lokasyonlar arası mesafeler kuş uçuşu mesafelerdir.) 10. Yukarıda verilen üçgenlerin çevre uzunluklarının santimetre cinsinden alabileceği en büyük ve en Budurum da insanın aklına elbette “Asal sayılar neden önemlidir?” sorusunu getirmektedir. Asal sayılar, sayı sisteminin atomlarıdır, yani tüm sayıları oluşturan sayılardır. 1 sayısı asal değildir, dizi 2’den başlar ve 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19 biçiminde devam eder. Asal sayıların gerçek önemi, aradaki tüm Geçenyıl ülkenizde toplam 19 bin TL GSYİH (yani ciro) üretildi. Bu yıl ise iki rakam var. Biri nominal biri reel yani gerçek. Yani ithalat ile ihracatımız arasında büyük bir AKPARTİ'NİN İZMİR'DE KAÇ MİLLETVEKİLİ VAR? Gelelim en can alıcı soruya. AK Parti’nin İzmir’de kaç tane milletvekili var? Eminim bir çoğunuz resmi sayı olan 8’i verdiniz. Kitaba göre doğru cevap ama gerçekte kaçı etkin? Birçok Ak Partili’ye göre bu rakam için 3 WKj99. Bu da soru mu? Sonsuz tane tabii! Ama iş o kadarla kalmıyor. Bu yazıda sonsuz kümelerin tuhaf dünyasına bakacağız. Nüfuslar Malum, aynı elemanın birden fazla kopyasının olmasına izin vermediğimiz her topluluğa “küme” diyoruz. Mesela telefon rehberinizde kayıtlı numaralar topluluğu bir kümedir. Bir numara ekler veya silerseniz farklı bir küme elde edersiniz. Kümelerin “nüfusları”ndan söz edeceğiz. Yani kaç eleman içerdiklerinden. Bunun ilginç bir konu olmasının nedeni telefon rehberiniz gibi sonlu sayıda eleman içeren kümeler olabildiği gibi sonsuz kümelerin de olması. Örneğin 1, 2, 3, ... diye başlayıp sonsuza uzanan pozitif tamsayılar kümesi böyle bir küme. İki sonlu kümenin nüfuslarını karşılaştırmak kolay Sayarsınız, olur biter! Sonsuz bir kümenin nüfusunun herhangi bir sonlu kümeninkinden fazla olduğuna da kimsenin itirazı yok. Esas mesele iki sonsuz kümenin nüfuslarını karşılaştırmak isterseniz çıkıyor. Mesela, demin bahsettiğimiz pozitif tamsayılar kümesi acaba Türk alfabesinde küçük harfleri anlam kaygısı taşımadan yan yana getirerek oluşturabilecek aaa, fjfjs, üğpoouuhrs filan gibi harf dizilerinin tümünün kümesinden daha kalabalık mıdır, daha “tenha”mı? Yoksa nüfusları eşit midir? Cantor Kümeleri karşılaştırmanın Alman matematikçi Georg Cantor tarafından bulunmuş ve sonsuz kümeler için de işleyen harika bir yolu var Kendinizi bir çöpçatan olarak düşünün. Kümelerden birinin elemanlarını erkekler, diğerininkileri de kadınlar olarak hayal edin. Amacınız tek bir bekar kalmayacak şekilde kümelerarası çiftler oluşturmak. Cantor’un tanımına göre, iki kümeyi bu şekilde tümüyle evlendirmek mümkünse onların nüfusları eşit. Çiftleri nasıl kurarsak kuralım, hep bazı erkek veya kadınlar açıkta kalıyorsa, o zaman nüfuslar eşit değil. Sonlu kümeler için bu tanımın tam da alışageldiğimiz kavrama denk geldiğini görüyoruz Eğer iki telefon rehberinde aynı sayıda kayıt varsa her kayıt karşı defterden bir kayıtla birebir eşlenebilir, kimse açıkta kalmaz. Sonsuz kümeler için bu yöntemi uyguladığımızda ilginç şeyler oluyor. Pozitif tam sayılar kümesini hatırlıyorsunuz. Şimdi de “negatif olmayan tam sayılar” kümesinin ele alalım 0, 1, 2, 3, ... dizisinin tümünü yani. Bu yeni küme öncekinden azıcık büyük görünüyor değil mi? Değil işte! Cantor bize bu kümeleri nasıl evlendirebileceğimizi şöyle anlatıyor "Her pozitif tam sayıyı kendisinden bir eksik olan sayıya eşleyin.” Yani 1’le 0, 2’yle 1, 3’le 2, ... eşlenecek. İki küme de tümüyle bekarlıktan kurtuldu mu? Evet. Kimsenin birden çok eşi filan yok, değil mi? Yok. Demek ki bu iki sonsuz kümenin nüfusları aynıymış! Bunun içgüdüsel olarak yanlış geldiğini biliyorum ama atalarımız evrimleşirken hayatta kalmak için sonsuz kümelerle ilgili problemler çözmeleri gerekmiyordu, o yüzden de bu konularla ilgili içgüdümüzün doğru çıkması beklenemez. Peki bütün tam sayılar? Yani tüm negatif tam sayılar -1, -2, -3, ..., hepsi de öncekilere katılınca elde ettiğimiz o müthiş küme? “Artık bu küme salt pozitif tam sayıları içerenden daha kalabalıktır” demeyin. Bu sefer sıralama değişik ama Cantor bu iki kümeyi de evlendirebiliyor. İşin sırrı tam sayıları alışıldık sırayla değil, şöyle dizmekte 0, -1, 1, -2, 2, -3, 3, -4, 4, -5, 5, ... Bu dizilimi uzatırsam her tamsayının önünde sonunda görüneceği açık, değil mi? Eh, şimdi artık pozitif tamsayıları bu sıradaki tamsayılarla eşleyebilirsiniz. Daha da kalabalık Bu örnekler insanda “herhalde tek bir sonsuzluk cinsi var; her sonsuz kümenin nüfusu tamsayılarınkine eşit” düşüncesi yaratabilir. Cantor bu tahminin de yanlış olduğunu gösterdi. Sıfırla bir arasında kaç sayı vardır? Bu kez küsurlu sayılardan söz ediyoruz. Yazmaya 0’la başlayıp, sonra bir virgül koyup, virgülden sonra da sonsuz sayıda rakamı dizerek gösterebileceğimiz sayılar. Bunlara Türkçe'de kimilerince “reel”, kimilerince de “gerçek” sayılar adı veriliyor. “Gerçel” diyenler de var. Cantor 0’la 1 arasındaki bu sayılardan oluşan kümenin nüfusunun tamsayılarınkinden büyük olduğunu kanıtladı. Yani bu sayılardan o kadar çok var ki, sonsuz satırlı bir listeye bile “şu birinci, şu ikinci, şu üçüncü, ...” diye sığdırılamıyorlar; nasıl sıralarsanız sıralayın, sonsuz sayıda sayı açıkta kalıyor! Dahası da var ama, sonumuz akıl hastanesinde ölen Cantor’unkine benzemesin diye bugünlük burada kessek daha hayırlı olacak. Sonsuz mutluluklar dilerim. Cem Say / sayster 1987'den beri Boğaziçi Üniversitesi Bilgisayar Mühendisliği Bölümü'nde çalışıyor. Çalışmaları Yapay Zeka ve Kuramsal Bilgisayar Bilimi üzerine. Sahte dijital deliller üzerine incelemeleri var. Bilimkurgu, uzay yolculuğu, seçim hileleri ve başka bir çok konuya da meraklı. Soru10. X, y ve z birer gerçek sayı olmak üzere, y + 2x + 2z = 7 eşitliği veriliyor. Buna göre, 1. x tam sayı ise z rasyonel sayıdır10. X, y ve z birer gerçek sayı olmak üzere, y + 2x + 2z = 7 eşitliği veriliyor. Buna göre, 1. x tam sayı ise z rasyonel sayıdır. II. y tam sayı ise x + z toplamı rasyonel sayıdır. III. z tam sayı ise x + y toplamı rasyonel sayıdır. ifadelerinden hangileri her zaman doğrudur? A Yalnız! B Yalnız II C Yalnız III D I ve 11 E Il ve III Soru Çözümünü GösterHesabını çözümünü gör!Ücretsiz 3 soru kredisi kazan Günlük hediyelerini alFotoğraflarla sorularını sor Soru Cevap10 ay önce1 Cevap569 Kez819 ile 905 doğal sayıları arasında kaç tane doğal sayı vardır sorusunun cevabı nedir? Bu soruya 1 cevap yazıldı. Cevap İçin Alta Doğru İlerleyin. İşte Cevaplar Deniz mavi2021-09-23 180519Cevap SORU 819 ile 905 doğal sayıları arasında kaç tane doğal sayı vardır?ÇÖZÜM 819 ile 905 doğal sayıları arasında "820,821,822,......904" doğal sayıları sayısı= son terim- ilk terim÷ortak fark +1=904-820÷1+1= 904-820+1= 84+1= 85 tane Bu cevaba 0 yorum yazıldı. Soru Ara? den fazla soru içinde arama YazBilgilendirme 2022 yılı YKS, AÖF, AUZEF, ATA-AÖF, AÖL, LGS, AÖO, AÖIHL-MAÖL, YDS, TUS, MSÜ, ALES, KPSS, İSG, YKS, DGS, EUS, TYT, AYT, ADES, ADB, Amatör Denizcilik Eğitimi Sınav takvimleri belli İki Doğal Sayı Arasındaki Sayıyı Bulma Verilen iki doğal sayı arasında kaç sayı olduğu nasıl bulunur? İki doğal sayı arasında yer alan sayıları bulmak için formül var mı? İki doğal sayı arasındaki sayıları bulmak için ne yapılması gerekir? Verilen sayıdan verilen sayıya kadar olan sayılar arasındaki doğal sayıları bulmak için aynı işlem mi yapılır? Verilen iki doğal sayı arasında yer alan sayıları bulmak aslında çok kolay ama dikkat edilecek en önemli nokta gözden kaçıyor olabilir. İki doğal sayı arasındaki doğal sayıları bulmak için soruda mutlaka “arasında” veya eşanlamlı bir sözcüğünün geçmesi gerekir. Yani verilen sayıdan verilen sayıya kadar değil, verilen iki sayı arasında kalması gerekir. Şimdi bir örnekle açıklamaya çalışalım. 5 ile8 ARASINDA kaç doğal sayı vardır? ve 5’den 8’e kadar kaç doğal sayı vardır? Soruları aynı değildir. Konumuzla ilgili olanı 1. sorudur. Öyleyse soruyu şöyle sorabilir miyiz? D ile G harfleri ARASINDA kaç harf vardır? Sorabiliriz. Biz D ile G arasındaki harfleri aradığımız için D ve G harflerini dahil etmeyeceğiz. Sayımıza dönersek, 5 ile 8. 5, 6, 7, 8. 5 ile 8 arasında 6 ve 7 sayısı var? Yani 5 ile 8 doğal sayısı arasında 2 tane doğal sayı var? Eğer soru 5’ten 8’e kadar kaç doğal sayı var diye sorulsaydı, 8-5=3 olarak yapacaktık. Ancak arasında dediği için aynı formülü kullanmamız mümkün değil. Çünkü soru değişiyor. İki doğal sayı arasındaki doğal sayıyı bulmak için VERİLEN BÜYÜK DOĞAL SAYI-VERİLEN KÜÇÜK DOĞAL SAYI-1 formülünü kullanırız. Sorumuza yeniden dönelim. “5 ile 8 arasanda kaç doğal sayı vardır?” Formüle uyguladığımızda; 8-5-1=2 buluruz. Bu da 6 ve 7 sayıları idi. Kısaca, büyük sayıdan küçük sayıyı ve bulunan sonuçtan da 1’i çıkararak iki doğal sayı arasındaki doğal sayıyı buluruz. Siz de aşağıda verilen örnekleri yaparak konuyu pekiştirmiş olursunuz. 4 ile 8 arasında kaç tane doğal sayı vardır? 2 ile 12 arasında kaç tane doğal sayı vardır? 450 ile 876 arasında kaç doğal sayı vardır?………………… Etiketler iki doğal sayı arasında kaç doğal sayı olduğunu bulma, iki sayı arasında bulunan sayıyı bulma Eklenme Tarihi 14 Kasım 2015 Konu ile ilgili Çözümlü Soruları Görmek için Tıkla Önerme Doğru ya da yanlış kesin bir hüküm yargı bildiren ifadelere önerme adı verilir. Matematikte önermeler genellikle p, q, r, s gibi küçük harflerle gösterilir. Aşağıdaki ifadelerden hangilerinin bir önerme olduğunu bulunuz. a Bir ay otuz iki Selimiye Camii Edirne’ Ödevini yaptın mı?d İyi akşamlar!e 1001 bir asal sayıdır. a, b ve e maddelerinde verilen ifadeler doğru ya da yanlış kesin bir hüküm bildirdiğinden birer önermedir. c ve d maddelerinde verilen ifadeler bir hüküm bildirmediğinden önerme değillerdir. Bir önermenin doğru ya da yanlış olmasına, o önermenin doğruluk değeri önerme doğru ise doğruluk değeri D veya 1 ile yanlış ise Y veya 0 ile p önermesi doğru bir önerme ise “p≡1“ , yanlış bir önerme ise “p≡0” şeklinde gösterilir ve “p önermesi 1 e denktir. ” ya da “ p önermesi 0 a denktir. ” şeklinde okunur. Aşağıdaki önermelerin doğruluk değerlerini bulunuz.• p 7 tek sayıdır.’’• q İki basamaklı en büyük doğal sayı 99 dur.’’• r 24 > 42 dir.’’• s Üçgenin iç açılarının ölçüleri toplamı 360 derecedir.’’• t En küçük doğal sayı 0 dır.’’ • “7 tek sayıdır.’’ hükmü doğru olduğundan p önermesinin doğruluk değeri 1 dir. p ≡ 1 olarak gösterilir.• İki basamaklı en büyük doğal sayı 99 dur.’’ hükmü doğru olduğundan q önermesinin doğruluk değeri 1 dir. q≡1 olarak gösterilir.• 24 = 42 olduğundan r önermesi yanlış hüküm belirtir. r önermesinin doğruluk değeri 0 dır. r≡0 olarak gösterilir.• Üçgenin iç açılarının ölçüleri toplamı 180 derece olduğundan s önermesi yanlış hüküm belirtir. s önermesinin doğruluk değeri 0 dır. s≡0 olarak gösterilir.• En küçük doğal sayı 0 dır.’’ hükmü doğru olduğundan t önermesinin doğruluk değeri 1 dir. t≡1 olarak gösterilir. Doğruluk değerleri aynı olan iki önermeye denk önermeler denir. p önermesi q önermesine denk ise p≡q, p önermesi q önermesine denk değil ise pq ile gösterilir. Aşağıda verilen önermelerden birbirine denk olanları bulunuz.• p ’’5 – 3 =3 – 5 tir.’’• q “Dünya Güneş’ten büyüktür.’’• r ’’-7 tam sayıdır.’’• s ’’ En büyük asal rakam 7 dir.’’ p ve q önermeleri yanlış olduğundan doğruluk değerleri 0 dır. Dolayısıyla p ve q önermeleri denk önermelerdir ve p ≡ q olarak ve s önermeleri doğru olduğundan doğruluk değerleri 1 dir. Dolayısıyla r ve s önermeleri denk önermelerdir ve r ≡ s olarak gösterilir. Önermelerin doğruluk değerlerinin gösterildiği tabloya doğruluk tablosu denir. p önermesinin doğruluk tablosunu oluşturalım. p ve q önermeleri için doğruluk tablosu oluşturalım. p önermesinin 2, q önermesinin 2 farklı doğruluk değeri olduğundan p ve q önermelerinin 2 . 2 = =4 farklı doğruluk durumu vardır. p, q ve r önermeleri için doğruluk tablosu oluşturunuz. Her önermenin 2 farklı doğruluk değeri olduğundan verilen üç önerme için 2 . 2 . 2 = =8 farklı doğruluk durumu vardır. Önermelerin doğruluk tablosu aşağıdaki gibidir. n farklı önermenin birbirine göre 2n tane doğruluk durumu vardır. 5 farklı önermenin birbirine göre kaç farklı doğruluk durumu olduğunu bulunuz. 5 farklı önermenin 25 =32 farklı doğruluk durumu vardır. Bir önermenin hükmünün değiştirilip yerine olumsuzunun kullanılması ile elde edilen önermeye ilk önermenin değili olumsuzu denir. p önermesinin değili p’ veya ~p ile önermesi doğru ise doğruluk değeri 1 dir ve p’ önermesinin doğruluk değeri 0 dır. p ≡ 1 ise p’ ≡ 0 ile önermenin değilinin değili önermenin kendisine denktir. [p’’ ≡ p]Bu özelliğin doğruluk tablosu aşağıdaki gibidir. Aşağıda verilen önermelerin değilini p “Antalya ili Akdeniz Bölgesi’ndedir.’’b q “Bir hafta 6 gün değildir.’’c r “2 sayısı 10 dan küçüktür.’’ a p’ “Antalya ili Akdeniz Bölgesi’nde değildir.’’b q’ “Bir hafta 6 gündür.’’c r’ “2 sayısı 10 dan büyük veya 10 a eşittir.’’ Aşağıda verilen önermelerin değilini p ”-6 + 11=5 tir.”b q’ ”-3 > 6 dır.”c s ’’3≤2 dir.’’ a p’ ”-6 + 11≠ 5 tir.”b q ”-3 ≤ 6 dır.”c s’ ’’3 > 2 dir.’’ Alıştırma-1Hangileri önermedir, hangileri değildir? Birbirinden farklı en küçük üç asal sayının toplamı 10 dur. ……………….. Türkiye Cumhuriyeti Asya kıtasındadır. ……………….. Fatih bu okulda mı? ……………….. Ay Dünya’nın uydusudur. ……………….. Bugün hava güzel mi? ……………….. Alıştırma-2Aşağıdaki önermelerin doğruluk değerleri nedir? En büyük iki negatif tam sayının toplamı -2 dir.’’ ….. 1 En büyük negatif tam sayı -1 dir. Sonraki ise -2 dir. Ancak, cümlede sayıların birbirinden farklı olduğu belirtilmemiş. Dolayısıyla ikisi de -1 seçilebilir. -1+-1=-2 doğru Dünyada ilk kalorifer sistemi İshakpaşa Sarayı’nda kullanılmıştır.’’ ….. 1 10 ile 19 arasında 8 gerçek sayı vardır.’’ ….. 0 Tamsayı deseydi doğru olurdu. Gerçek sayı dedi için sonsuz sayı vardır. Mesela 10,2 10,25 10,25869 gibi örnek sayılar sonsuz defa yazılabilir ve bunlar 10 ile 19 arasındadır. 2 sayısı, 2x – 3 =1 denkleminin çözüm kümesinin bir elemanıdır.’’ ….. Alıştırma-3Aşağıdaki önermelerden hangileri birbirine denktir? p Mardin ili, Güney Doğu Anadolu Bölgesi’ndedir.’’q ’’32 –22 -2 ifadesini sağlayan en küçük x tam sayı değeri -3 tür.’’ q’ 3x + 5 > -2 ifadesini sağlayan en küçük x tam sayı değeri -3 değildir.’’ Alıştırma-5Doğruluk durumu sayısı 7 farklı önermenin birbirine göre kaç tane doğruluk durumu vardır? Alıştırma-6 Doğruluk durumu sayısı n + 2 tane farklı önermenin birbirine göre 64 farklı doğruluk durumu olduğuna göre n sayısını bulunuz. Sayfalar 1 2 3 4 5 6

10 ile 19 arasında kaç gerçek sayı vardır